गुणांक ज्ञात कीजिए (x+3)^{8} में x^{5} का

Hindi

7.Binomial Theorem

medium

गुणांक ज्ञात कीजिए

$(x+3)^{8}$ में $x^{5}$ का

$1512$

Solution

It is known that $(r+1)^{\text {th }}$ term, $\left(T_{r+1}\right),$ in the binomial expansion of $(a+b)^{n}$ is given by

${T_{r + 1}} = {\,^n}{C_r}{a^{n – r}}{b^r}$

Assuming that $x^{5}$ occurs in the $(r+1)^{t h}$ term of the expansion $(x+3)^{8},$ we obtain

${T_{r + 1}} = {\,^8}{C_r}{(x)^{8 – r}}{(3)^r}$

Comparing the indices of $x$ in $x^{5}$ in $T_{r+1},$

We obtain $r=3$

Thus, the coefficient of $x^{5}$ is ${\,^8}{C_3}{(3)^3} = \frac{{8!}}{{3!5!}} \times {3^3} = \frac{{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}}{{3 \cdot 2 \cdot 5!}} \cdot {3^3} = 1512$

Standard 11

Mathematics

यदि ${\left( {a{x^2} + \frac{1}{{bx}}} \right)^{11}}$ में ${x^7}$ का गुणांक, ${\left( {ax – \frac{1}{{b{x^2}}}} \right)^{11}}$ में ${x^{ – 7}}$ के गुणांक के समान हो, तब $ab =$

hard

(AIEEE-2005)

$\alpha>0, \beta>0$ ऐसा हो कि $\alpha^{3}+\beta^{2}=4$ हो। यदि $\left(\alpha x^{\frac{1}{9}}+\beta x^{-\frac{1}{6}}\right)^{10}$ के द्विपदीय विस्तार में $x$ से स्वतंत्र पद का अधिकतम मान $10 k$ है, तो $k$ बराबर है

hard

(JEE MAIN-2020)

यदि ${(1 + x)^m}{(1 – x)^n}$ के प्रसार $(expansion)$ में $x$ और ${x^2}$ के गुणांक $(coefficient)$ क्रमश: $3$ और $-6$ हैं, तो $m =$

hard

(IIT-1999)

${(1 + x + {x^3} + {x^4})^{10}}$ के विस्तार में ${x^4}$ का गुणांक होगा

hard

गुणन $\left(2-x^{2}\right) \cdot\left(\left(1+2 x+3 x^{2}\right)^{6}+\left(1-4 x^{2}\right)^{6}\right)$ के प्रसार में $x^{2}$ का गुणांक है

hard

(JEE MAIN-2018)